清朝小留学生出现的原因主要有以下几点：
洋务运动的推动：
当时一批爱国人士发起了洋务运动，认为国外的科学技术先进，因此建议清政府选派幼童去美国留学，以培养高质量人才。
社会大环境所迫：
从鸦片战争开始，清政府一直受到各种欺辱。学习西方的先进技术被认为是“师夷长技以制夷”的必要手段，因此纷纷派遣留学生去留学。
国门被迫打开：
中国在与西方世界的交流中意识到，派遣留学生出国是加强沟通、培养人才和国家发展的重要途径。
留学救国意识：
甲午战争后，国内激奋，仇日情绪高涨，许多知识分子认为到国外学习是寻求救国真理的途径，从而形成了留学热潮。
政府政策导向：
清末新政政策的推动和留学救国意识的内在驱动，促使清政府大量派遣留学生出国。
特定人物的推动：
如中国第一个从美国留学回来的人，他希望能让更多的人出国学习，于是向洋务大臣曾国藩提出建议，最终得到皇帝同意。
综上所述，清朝小留学生的出现是多种因素共同作用的结果，既有政府层面的推动，也有社会思潮的影响，以及个人爱国情怀的驱动。