李鸿章推动留学的主要目的是为了 吸收西方的先进技术，以实现国家的自强和求富。以下是一些具体的背景和原因：
洋务运动的推动
李鸿章是洋务运动的重要推动者之一。洋务运动主张“中学为体，西学为用”，即在学习传统儒学的基础上，引进西方的科学技术和管理经验，以增强国家的实力。为了实现这一目标，李鸿章认为派遣留学生到西方国家学习是非常必要的。
军事现代化的需求
李鸿章对西方军事技术特别是火炮技术有很高的评价。他认为，通过派遣军官到德国学习，可以直接引进西方的先进军事技术和战术，提升清军的战斗力。例如，1876年，李鸿章在都司李劢协的建议下，派遣了卞长胜、王德胜等7位军官到德国武校学习。
培养外交和现代化建设人才
除了军事领域，李鸿章还意识到需要培养一批具有国际视野和专业知识的人才，以应对日益复杂的国际环境和国内改革的需求。他主持的幼童赴美留学计划就是为了培养这样的人才。这些幼童在美国接受教育，学习西方的科学技术和管理经验，预计用18年时间完成学业。
应对国内外压力
当时，国内外对如何学习西方存在不同看法。一些保守势力反对学习西方，认为应该坚持传统儒学。为了应对这些压力，李鸿章通过派遣留学生的方式，展示了中国对外开放和学习的决心，同时也为中国的现代化进程奠定了基础。
综上所述，李鸿章推动留学的主要目的是为了吸收西方的先进技术，以实现国家的自强和求富。他通过派遣留学生到德国和美国学习，不仅提升了清军的战斗力，还培养了一批具有国际视野和专业知识的人才，为中国的现代化进程做出了重要贡献。