新东方留学官司的解决过程可以概括为以下几个步骤：
协商解决
在发现合同履行存在问题后，首先应尝试通过友好协商的方式解决纠纷。
法律途径
如果协商不成，可以寻求法律途径解决，包括向法院提起诉讼。
一审判决
在某个具体案例中，北京市第一中级人民法院于2003年9月27日做出了一审判决，认定新东方学校侵犯了对方的著作权和商标权，并判决新东方赔偿对方1000余万元的损失。
上诉
新东方学校对一审判决不服，提出了上诉。
终审判决
经过审理，北京高院于2004年12月27日做出了终审宣判，维持了新东方侵犯著作权的事实认定，但撤销了关于商标权的侵权认定。
终审判决新东方学校赔偿两机构经济损失640余万元。
以上步骤概述了新东方在涉及留学官司时可能遵循的法律程序。请注意，每个案件的具体情况可能有所不同，因此建议在实际操作中咨询专业律师以获得详细的法律建议。