蒋百里能够出国留学的原因可以归纳为以下几点：
优异的学术成绩：
蒋百里在求是书院表现突出，成绩优异，因此毕业时被选拔出来送到日本留学。
家庭资助：
他得到了当地县府的资助，得以公派赴日留学。
个人志向：
蒋百里具有强烈的爱国心和民族意识，他认为在当时背景下，军事力量对于国家的强盛至关重要，因此他选择学习军事并在回国后致力于军事事业。
时代背景：
当时中国正经历着剧变，新的思想和制度逐渐传入，蒋百里受到新学的影响，认为传统的文学修养无法解决中国的根本问题，故而选择了军事作为报国的途径。
这些因素综合作用，使得蒋百里得以实现出国留学的梦想，并在军事领域取得了显著的成就