拒绝老师的留学邀请时，应当采取恰当而诚恳的方式，以下是一些建议：
悲情版
如果你有家庭原因，比如需要照顾生病的家人，可以表达你的担忧和责任感，说明你出国期间可能无法兼顾家庭，因此无法接受留学邀请。
家境版
如果你因为家庭经济原因无法承担留学费用，可以坦诚地说明家庭的经济状况，表达你对学费和生活费的担忧，并感谢老师的理解。
坦白版
如果你经过深思熟虑，认为出国交流并不适合你，可以直接告诉老师你的决定，并可以推荐其他更合适的同学。
初次答复
如果你之前没有对学校做出过答复，第一次答复时拒绝学校是比较合理和正当的。可以先赞美学校，然后诚恳地表达由于个人原因无法接受的歉意。
已接受offer反悔
如果你已经接受了学校的offer，但又要反悔，建议写得诚恳一些，说明你的决定是经过深思熟虑的，并且可以解释反悔的原因，比如经济压力、家庭情况等。
表达追求
如果你有更高的学术追求，比如想去名校或特定研究方向，可以坦诚地告诉老师你的目标，并说明你相信其他学校或导师更适合你的发展。
委婉拒绝
如果你希望以委婉的方式拒绝，可以感谢老师的邀请，并找一个合适的理由，比如目前的研究方向与老师的不同，或者你希望在未来某个时机再合作。
无论采取哪种方式，都要保持礼貌和诚恳，表达出对老师的尊重和对学校及项目的认可，同时也要确保你的拒绝理由充分且合理。这样既能表达你的决定，也能减少对师生关系的负面影响。