陈省身的留学经历如下：
清华大学研究院攻读硕士
陈省身在南开大学数学系毕业后，前往清华大学研究院攻读硕士，成为我国第一批自己培养的数学研究生。
获得留学奖学金并前往汉堡大学
在清华大学研究院期间，陈省身获得了留学奖学金，于是他前往德国汉堡大学数学系留学。
在汉堡大学的学习和研究
1934年9月，陈省身到达汉堡大学，虽然不会德语，且适逢中国领馆休假，面临一些困难，但他凭借对数学的深刻理解和已有概念，选修了数学家埃里克·凯勒的讨论课，并与许多教授进行了交流。
获得博士学位并继续研究
1935年10月，陈省身完成博士论文《关于网的计算》和《2n维空间中n维流形三重网的不变理论》，并在汉堡大学数学讨论会论文集上发表。1936年2月，他获得科学博士学位。
转往法国巴黎继续研究
毕业后，奖学金还有剩余，陈省身得到中华文化基金会的资助，转往法国巴黎跟从嘉当（E.Cartan）研究微分几何。
总结起来，陈省身的留学经历包括先在清华大学研究院攻读硕士，然后获得奖学金前往德国汉堡大学数学系留学，获得博士学位后，又转往法国巴黎继续研究微分几何。这些经历不仅丰富了他的学术视野，也使他成为国际数学界的杰出学者。