鲁迅的出国留学经历如下：
自费留学
鲁迅通过听天由命会、谢友胜等人的介绍，于1902年初自费到上海登上了日本的船，开始了他的留学生活。
官费留学
鲁迅在江南水师学堂和矿路学堂学习后，因成绩优异获得了官费留学的机会。1902年，他东渡日本，先在东京弘文学院补习日语，后来进入仙台医学专门学校。
专业选择
鲁迅最初选择学医，意在救治像他父亲那样被庸医所害的病人，并改善中国人的健康状况。然而，他在仙台医学专门学校学习一段时间后，受到现实刺激，最终放弃了医学专业，转而投身于文学创作和文化批判。
学习经历
在日本期间，鲁迅学习了日本文学、哲学、文化史、医学、生物学等各门学科，同时也接触了大量的政治思想和社会现象，这些经历为他后来的文学及文化批判提供了丰富的素材。
回国后的影响
鲁迅回国后，先后在杭州浙江两级师范学堂和绍兴府中学堂任教，继续他的教育和文化事业，并开始了他的文学创作生涯。
通过以上信息，我们可以看到鲁迅的出国留学经历是多途径的，包括自费和官费留学，最终他选择了文学和文化的道路，成为了一位伟大的文学家和思想家。