清末留学人数之所以大幅增加，主要原因可以归纳为以下几点：
洋务运动与新式教育的需求
从19世纪70年代开始，为了学习西方的先进技术和知识，清政府开始派遣学生出国留学，这一举措被称为“洋务运动”。到了20世纪初，随着“新政”的推行，对海外人才的需求进一步增加，从而推动了留学人数的急剧上升。
科举制度的废除
1896年，中国废除了科举制度，这使得传统的读书做官之路被切断，出国留学成为了许多知识分子的首选。
美国庚款资助政策
美国政府利用庚款资助中国留学生，这一政策不仅减轻了留学生的经济负担，还提高了留美学生的社会地位，吸引了大量学生选择留美。
救亡图存的需求
在民族危机日益加深的背景下，许多知识分子希望通过留学学习西方先进的科技和管理经验，以寻求救国救民的道路。
日本留学热潮的带动
甲午战争后，中国对日本的学习模式产生了浓厚兴趣，认为日本是向西方学习的捷径。因此，大量中国学生选择到日本留学，形成了留学日本的热潮。
国内外政治、经济因素的影响
战败后的条约签订使中国逐渐开放，通商口岸的开放带来了新的思想文化和教育方式。同时，国内政治变革和经济转型也促使了留学热潮的形成。
综上所述，清末留学人数之所以大幅增加，是由于政府政策的推动、国内外政治经济的巨大变化以及知识分子对救国救民真理的追求等多方面因素共同作用的结果。